TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI 2 ĐƯỜNG

Bài viết lí giải phương thức vận dụng tích phân nhằm tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai tuyến đường cong, đấy là dạng toán thù hay gặp gỡ trong công tác Giải tích 12 chương 3: Ngulặng hàm – Tích phân và Ứng dụng.

Bạn đang xem: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. Cho hai hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ liên tục bên trên đoạn $.$ Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do đồ gia dụng thị nhị hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai tuyến phố trực tiếp $x=a$, $x=b$ là: $S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx.$2. Xem lại bí quyết khử dấu quý giá tuyệt vời và hoàn hảo nhất trong công thức tính diện tích hình phẳng.3. Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì vật thị nhị hàm số $y = f(x)$ với $y = g(x)$ cho vị phương pháp $S = int_altrộn ^eta | f(x) – g(x)|dx$, trong những số đó $altrộn $, $eta $ lần lượt là nghiệm nhỏ tuổi tuyệt nhất cùng lớn nhất của phương thơm trình $f(x) – g(x) = 0.$

II. BÀI TẬPhường TRẮC NGHIỆM MINH HỌAlấy ví dụ như 1: điện thoại tư vấn $S$ là diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = f(x)$, $y=g(x)$ với hai tuyến đường thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch ốp chéo cánh trong hình vẽ bên).

*

Khẳng định làm sao tiếp sau đây đúng?A. $S = int_b^a | f(x) – g(x)|dx.$B. $S = int_a^b dx .$C. $S = left| int_a^b f (x)dx ight| – left| int_a^b g (x)dx ight|.$D. $S = int_b^a g (x)dx – int_b^a f (x)dx.$

Lời giải:Từ trang bị thị ta bao gồm $f(x) – g(x) > 0$, $forall x in .$$ Rightarrow S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_a^b dx .$$ = int_a^b f (x)dx – int_a^b g (x)dx$ $ = int_b^a g (x)dx – int_b^a f (x)dx.$Chọn câu trả lời D.

lấy ví dụ như 2: Call $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật dụng thị hai hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ cùng hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch chéo trong hình vẽ bên).

*

Khẳng định như thế nào tiếp sau đây đúng?A. $S = int_a^b dx. $B. $S = left| int_a^b dx ight|.$C. $S = left| int_a^b f (x)dx ight| – left| int_a^b g (x)dx ight|.$D. $S = int_a^c dx $ $ – int_c^b dx .$

Lời giải:Từ đồ gia dụng thị ta có $f(x) – g(x) ge 0$, $forall x in $ cùng $f(x) – g(x) le 0$, $forall x in .$$ Rightarrow S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_a^c dx $ $ – int_c^b dx .$Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: hotline $S_1$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do đồ gia dụng thị các hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ cùng hai tuyến đường thẳng $x = a$, $x = b$ $(a A. $S_1 > S_2.$B. $S_1 C. $S_1 = 2018S_2.$D. $S_2 = 2018S_1.$

Lời giải:Ta có:$S_1 = int_a^b | f(x) – g(x)|dx.$$S_2 = int_a^b | 2018f(x) – 2018g(x)|dx$ $ = 2018int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ Rightarrow S_2 = 2018S_1.$Chọn đáp án D.

ví dụ như 4: Tính diện tích $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn vày đồ vật thị những hàm số $y = x^2 + x$, $y = 3x$ và hai tuyến phố thẳng $x=1$, $x=3.$A. $S = frac23.$B. $S = frac43.$C. $S = 3.$D. $S = 2.$

Lời giải:+ Cách 1:Ta có: $S = int_1^3 left $ $ = int_1^3 x^2 – 2x ight .$Bảng xét dấu:

*

$ Rightarrow S = – int_1^2 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ + int_2^3 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ = – left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight|_1^2$ $ + left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight|_2^3 = 2.$Chọn lời giải D.+ Cách 2:Xét phương trình $x^2 + x – 3x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0 otin <1;3>\x = 2 in <1;3>endarray ight..$Do đó: $S = int_1^3 left $ $ = left| int_1^2 left( x^2 – 2x ight)dx ight|$ $ + left| int_2^3 left( x^2 – 2x ight)dx ight|.$$ = left| left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight ight|$ $ + left| left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight ight| = 2.$Chọn câu trả lời D.

lấy một ví dụ 5: Tính diện tích S $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn vị vật thị nhì hàm số $y = x^3 – x$ cùng $y = 3x.$A. $S=6.$B. $S=7.$C. $S=8.$D. $S=9.$

Lời giải:Xét pmùi hương trình $x^3 – 4x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = pm 2endarray ight..$Do đó $S = int_ – 2^2 dx $ $ = left| int_ – 2^0 left( x^3 – 4x ight)dx ight|$ $ + left| int_0^2 left( x^3 – 4x ight)dx ight|.$$ = left| _ – 2^0 ight|$ $ + left| left. left( fracx^44 – 2x^2 ight) ight ight| = 8.$Chọn đáp án C.

lấy một ví dụ 6: Tính diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vì thiết bị thị hàm số $y = x^3 – x$ với đồ gia dụng thị hàm số $y = x – x^2.$A. $frac3712.$B. $frac94.$C. $frac8112.$D. $13.$

Lời giải:Xét phương trình $x^3 – x – x + x^2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = – 2\x = 1endarray ight..$Do kia $S = int_ – 2^1 dx $ $ = left| int_ – 2^0 left( x^3 + x^2 – 2x ight)dx ight|$ $ + left| int_0^1 left( x^3 + x^2 – 2x ight)dx ight|.$$ = left| _ – 2^0 ight|$ $ + left| left. left( fracx^44 + fracx^33 – x^2 ight) ight ight| = frac3712.$Chọn giải đáp A.

lấy một ví dụ 7: Tính diện tích $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì đồ thị nhị hàm số $y = (x – 6)^2$, $y = 6x – x^2.$A. $S=9.$B. $S = frac92.$C. $S=48.$D. $S = frac523.$

Lời giải:Xét phương trình $(x – 6)^2 – 6x + x^2 = 0$ $ Leftrightarrow 2x^2 – 18x + 36$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 3\x = 6endarray ight..$$ Rightarrow S = int_3^6 dx $ $ = left| int_3^6 left( 2x^2 – 18x + 36 ight)dx ight|.$$ = left| left. left( frac2x^33 – 9x + 36x ight) ight ight| = 9.$Chọn lời giải A.

ví dụ như 8: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì đường cong $y = x^2 + 1$, tiếp tuyến cùng với đường cong này trên điểm $M(2;5)$ và trục $Oy$ bằng:A. $frac512.$B. $frac83.$C. $4.$D. $frac10712.$

Lời giải:Ta có: $y = x^2 + 1$ $ Rightarrow y’ = 2x$ $ Rightarrow y"(2) = 4.$Pmùi hương trình tiếp tuyến đường của con đường cong $y = x^2 + 1$ trên điểm $M(2;5)$ là:$y – 5 = 4(x – 2)$ $ Leftrightarrow y = 4x – 3.$Xét pmùi hương trình: $x^2 + 1 – 4x + 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$S = int_0^2 dx $ $ = int_0^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x – 2)^33 ight|_0^2 = frac83.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 9: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do mặt đường cong $y = x^3 – 3x$ cùng tiếp tuyến đường với mặt đường cong này tại điểm $M( – 1;2)$ bằng:A. $frac94.$B. $frac154.$C. $frac274.$D. $frac354.$

Lời giải:Ta có: $y = x^3 – 3x$ $ Rightarrow y’ = 3x^2 – 3$ $ Rightarrow y"( – 1) = 0.$Phương trình tiếp con đường của đường cong $y = x^3 – 3x$ tại điểm $M( – 1;2)$ là:$y – 2 = 0(x + 1)$ $ Leftrightarrow y = 2.$Xét phương thơm trình: $x^3 – 3x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2\x = – 1endarray ight..$$S = int_ – 1^2 dx $ $ = left| int_ – 1^2 left( x^3 – 3x – 2 ight)dx ight|$ $ = left. left( fracx^44 – frac3x^22 – 2x ight) ight|_ – 1^2$ $ = frac274.$Chọn câu trả lời C.

lấy một ví dụ 10: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = e^2x$, $y = e^ – x$ với mặt đường trực tiếp $x=1$ bởi $a.e^2 + frac1e + b$ với $a$, $b$ là các số hữu tỉ. Tính $T = 2a + b.$A. $T = frac52.$B. $T = – frac52.$C. $T = – 1.$D. $T = – frac12.$

Lời giải:Xét phương trình $e^2x – e^ – x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Do kia $S = int_0^1 dx $ $ = left| int_0^1 left( e^2x – e^ – x ight)dx ight|$ $ = left. left( frace^2x2 + e^ – x ight) ight|_0^1$ $ = frace^22 + frac1e – frac32.$$ Rightarrow a = frac12$, $b = – frac32$ $ Rightarrow T = 2a + b = – frac12.$Chọn giải đáp D.

Xem thêm:

lấy ví dụ như 11: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn bởi vì vật dụng thị hai hàm số $y = e^2x + e^x$, $y = 4e^x – 2$ bằng $fracab + cln 2$ với $fracab$ là phân số buổi tối giản, $c$ là số nguyên ổn. Tính $T = a^2 + b – c.$A. $T=9.$B. $T=1.$C. $T =15.$D. $T=13.$

Lời giải:Xét phương trình $e^2x + e^x – 4e^x + 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20le^x = 1\e^x = 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = ln 2endarray ight..$Do đó $S = int_0^ln 2 dx $ $ = left| int_0^ln 2 left( e^2x – 3e^x + 2 ight)dx ight|.$$ = left. left( frace^2x2 – 3e^x + 2x ight) ight|_0^ln 2$ $ = frac32 – 2ln 2.$$ Rightarrow a = 3$, $b = 2$, $c = – 2$ $ Rightarrow T = a^2 + b – c = 13.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 12: Tính diện tích S $S$ của hình phẳng giới hạn bởi vì vật thị hai hàm số $y = xe^x$, $y = me^x$ $(m > 1)$ và con đường thẳng $x=1.$A. $S = me – e^m.$B. $S = e^m – me.$C. $S = e^m – me – 2e.$D. $S = me – e^m + 2e.$

Lời giải:Xét phương thơm trình $xe^x – me^x = 0$ $ Leftrightarrow x = m.$Bảng xét dấu:

*

$ Rightarrow S = int_1^m 2e^x – me^x ight $ $ = int_1^m (m – x) e^xdx.$

*

$ Rightarrow S = left. (m – x)e^x ight|_1^m$ $ + left. e^x ight|_1^m$ $ = e^m – me.$Chọn câu trả lời B.

ví dụ như 13: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn bởi vì đồ vật thị hai hàm số $y = 2xln x$, $y = 6ln x$ bằng $a + bln 3$ cùng với $a$, $b$ là những số nguyên. Tính $T = 2a + b.$A. $T = 10.$B. $T=-7.$C. $T=7.$D. $T=-10.$

Lời giải:Xét pmùi hương trình $2xln x – 6ln x = 0$ $ Leftrightarrow (2x – 6)ln x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 3\x = 1endarray ight..$$ Rightarrow S = int_1^3 | 2xln x – 6ln x|dx$ $ = left| int_1^3 (2x – 6) ln xdx ight|.$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = (2x – 6)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\dv = x^2 – 6xendarray ight..$lúc kia $S = left| int_1^3 (2x – 6) ln xdx ight|$ $ = left| _1^3 – int_1^3 (x – 6)dx ight|.$$ = left| _1^3 ight|$ $ = – 8 + 9ln 3.$$ Rightarrow a = – 8$, $b = 9$ $ Rightarrow T = 2a + b = – 7.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 14: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi vật thị nhì hàm số $y = 2cos x$, $y = 3$ với hai tuyến đường thẳng $x = 0$, $x = fracpi 4$ bởi $fracabpi + fracsqrt 2 c$ cùng với $fracab$ là phân số buổi tối giản, $c$ là số nguim. Tính $T = 2a + b + c.$A. $T=-12.$B. $T=-9.$C. $T=9.$D. $T = 12.$

Lời giải:Ta tất cả $S = int_0^fracpi 4 | 2cos x – 3|dx$ $ = int_0^fracpi 4 (3 – 2cos x)dx $ (vì chưng $2cos x – 3 $ = left. (3x – 2sin x) ight|_0^fracpi 4$ $ = frac3pi 4 – sqrt 2 $ $ Rightarrow a = 3$, $b = 4$, $c = – 1$ $ Rightarrow T = 2a + b + c = 9.$Chọn giải đáp C.

lấy một ví dụ 15: Cho diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vì thứ thị nhì hàm số $y = 1 + cos ^2x$, $y = sin ^2x$ cùng hai tuyến đường thẳng $x = 0$, $x = fracpi 4$ bởi $fracabpi + fraccd$ với $fracab$, $fraccd$ là các phân số về tối giản. Tính $T = a + b + c + d.$A. $T=6.$B. $T =7.$C. $T =8.$D. $T=9.$

Lời giải:Ta bao gồm $S = int_0^fracpi 4 left $ $ = int_0^fracpi 4 | 1 + cos 2x|dx.$$ = int_0^fracpi 4 (1 + cos 2x)dx $ (vì chưng $1 + cos 2x ge 0$, $forall x in left< 0;fracpi 2 ight>$).$ = left. left( x + frac12sin 2x ight) ight|_0^fracpi 4$ $ = fracpi 4 + frac12$ $ Rightarrow a = 1$, $b = 4$, $c = 1$, $d = 2.$$ Rightarrow T = a + b + c + d = 8.$Chọn lời giải C.

ví dụ như 16: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi vì hai đường cong $y = x^2$, $x = y^2$ bằng $fracab$ với $fracab$ là các phân số buổi tối giản. Khi kia khoảng cách trường đoản cú điểm $M(a;b)$ đến điểm $A(2;1)$ bằng:A. $1.$B. $sqrt 5 .$C. $5.$D. $sqrt 29 .$

Lời giải:Ta tất cả $y = x^2$ và $x = y^2$ $ Rightarrow x,y ge 0.$Khi kia $x = y^2$ $ Leftrightarrow y = sqrt x .$Xét phương trình $x^2 – sqrt x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = 1endarray ight..$Do đó $S = int_0^1 left $ $ = left| int_0^1 left( x^2 – sqrt x ight)dx ight|$ $ = left| left. left( fracx^33 – frac23xsqrt x ight) ight ight| = frac13.$$ Rightarrow a = 1$, $b = 3$ $ Rightarrow M(1;3)$ $ Rightarrow MA = sqrt (2 – 1)^2 + (1 – 3)^2 = sqrt 5 .$Chọn giải đáp B.

lấy một ví dụ 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các con đường $y = left| x^2 – 3x + 2 ight|$, $y = x + 2$ bởi $fracab$ cùng với $fracab$ là phân số về tối giản. Khẳng định như thế nào sau đấy là đúng?A. $a^2 – 4b + 2 = 0.$B. $a^2 + b – 58 = 0.$C. $a + b^2 – 40 = 0.$D. $a + 2b = 0.$

Lời giải:Xét phương trình: $left| x^2 – 3x + 2 ight| = x + 2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx + 2 ge 0\left< eginarray*20lx^2 – 3x + 2 = x + 2\x^2 – 3x + 2 = – x – 2endarray ight.endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = 4endarray ight..$Do đó $S = int_0^4 left ight = frac313$ $ Rightarrow a = 31$, $b = 3$ $ Rightarrow a + b^2 – 40 = 0.$Chọn giải đáp C.

lấy ví dụ 18: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn bởi vì đồ dùng thị nhị hàm số $y = x^2 + 4x$, $y = 2x – m$ $(m > 1)$ với hai tuyến đường thẳng $x=0$, $x=2$ bởi $4.$ Khẳng định như thế nào sau đây đúng?A. $m>5.$B. $mC. $2 D. $m le 2.$

Lời giải:Với $m>1$, ta bao gồm $x^2 + 2x + m$ $ = (x + 1)^2 + m – 1 ge 0$, $forall x in R.$Khi đó: $S = int_0^1 left $ $ = int_0^1 left( x^2 + 2x + m ight)dx .$$ = left. left( fracx^33 + x^2 + mx ight) ight|_0^1$ $ = m + frac43.$$S = 4$ $ Rightarrow frac43 + m = 4$ $ Leftrightarrow m = frac83$ $ Rightarrow 2 Chọn giải đáp C.

lấy một ví dụ 19: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vị thiết bị thị nhì hàm số $y = x^2 – x$, $y = x + 3$ cùng hai tuyến phố trực tiếp $x = 0$, $x = m$ $(m > 3)$ bởi $fracm^33 – m^2.$ Khẳng định làm sao sau đây đúng?A. $m > 5.$B. $m ge 8.$C. $m le 5.$D. $7 Lời giải:Xét phương thơm trình: $x^2 – x – x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x^2 – 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 3endarray ight..$Bảng xét dấu:

*

Ta có: $S = int_0^m x^2 – 2x – 3 ight $ $ = – int_0^3 left( x^2 – 2x – 3 ight)dx $ $ + int_3^m left( x^2 – 2x – 3 ight)dx .$$ = – left. left( fracx^33 – x^2 – 3x ight) ight|_0^3$ $ + left. left( fracx^33 – x^2 – 3x ight) ight|_3^m$ $ = fracm^33 – m^2 – 3m + 18.$$S = fracm^33 – m^2$ $ Rightarrow – 3m + 18 = 0$ $ Leftrightarrow m = 6$ $ Rightarrow m > 5.$Chọn câu trả lời A.

lấy ví dụ 20: Diện tích hình elip $(E):x^2 + 16y^2 = 16$ bằng:A. $pi .$B. $2pi .$C. $3pi .$D. $4pi .$

Lời giải:Vẽ $(E):x^2 + 16y^2 = 16$ nhỏng hình mặt, ta suy ra:$S = 4int_0^4 fracsqrt 16 – x^2 dx4 $ $ = int_0^4 sqrt 16 – x^2 dx.$

*

Đặt $x = 4sin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = 4cos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = 4$ $ Rightarrow t = fracpi 2.$$S = int_0^fracpi 2 sqrt 16 – 16sin ^2t .4cos tdt$ $ = – 16int_0^fracpi 2 cos ^2 tdt$ $ = 8int_0^fracpi 2 (1 + cos 2t)dt .$$ = left. (8t + 4sin 2t) ight|_0^fracpi 2 = 4pi .$Chọn đáp án D.

lấy ví dụ như 21: Trong khía cạnh phẳng tọa độ $Oxy$ đến $(E)$ gồm pmùi hương trình $fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1$ $(0 A. $ab=7.$B. $ab = 7sqrt 7 .$C. $ab = sqrt 7 .$D. $ab = 49.$

Lời giải:Diện tích hình trụ $(C)$ là: $S_1 = pi R^2 = 7pi .$Diện tích hình elip $(E)$ là: $S_2 = 4int_0^a fracbsqrt a^2 – x^2 dxa $ $ = 4fracbaint_0^a sqrt a^2 – x^2 dx.$

*

Đặt $x = asin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = acos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = a$ $ Rightarrow t = fracpi 2.$$S_2 = 4fracbaint_0^fracpi 2 a^2 cos ^2tdt$ $ = 2abint_0^fracpi 2 (1 + cos 2t)dt $ $ = left. 2ableft( t + frac12sin 2t ight) ight|_0^fracpi 2$ $ = pi ab.$Theo mang thiết ta bao gồm $S_2 = 7S_1$ $ Leftrightarrow pi ab = 49pi $ $ Leftrightarrow ab = 49.$Chọn đáp án D.Ghi chú: Sau này ta cần sử dụng công dụng này mang đến nhanh khô các em nhé: “Elip có độ dài trục to với trục nhỏ dại theo lần lượt là $2a$, $2b$ thì bao gồm diện tích S $S = pi ab$”.

lấy ví dụ 22: Parabol $y = x^2$ phân tách đường tròn tâm là cội tọa độ, nửa đường kính bởi $sqrt 2 $ thành nhì phần. Gọi $S_1$ là diện tích S phần ở hoàn toàn trên trục hoành cùng $S_2$ là diện tích phần còn lại. Giá trị $S_2 – 3S_1$ bằng?A. $fracpi 2 – 1.$B. $1 – fracpi 2.$C. $frac43.$D. $ – frac43.$

Lời giải:Đường tròn chổ chính giữa $O$, bán kính bởi $2$ bao gồm pmùi hương trình:$x^2 + y^2 = 2.$

*

Tìm các hoành độ giao điểm:$x^2 + x^2 = 2$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$Tính những diện tích:Diện tích hình trụ $S = pi (sqrt 2 )^2 = 2pi .$$S_1 = 2int_0^1 left( sqrt 2 – x^2 – x^2 ight)dx $ $ = 2int_0^1 sqrt 2 – x^2 dx – left. frac2x^33 ight|_0^1.$Đặt $x = sqrt 2 sin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = sqrt 2 cos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = 1$ $ Rightarrow t = fracpi 4.$$int_0^1 sqrt 2 – x^2 dx$ $ = int_0^fracpi 4 sqrt 2 – 2sin ^2t .sqrt 2 cos tdt.$$ = int_0^fracpi 4 (1 + cos 2t)dt $ $ = left. left( t + fracsin 2t2 ight) ight|_0^fracpi 4$ $ = fracpi 4 + frac12.$$ Rightarrow S_1 = fracpi 2 + frac13$ $ Rightarrow S_2 = S – S_1$ $ = frac3pi 2 – frac13$ $ Rightarrow S_2 – 3S_1 = – frac43.$Chọn đáp án D.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: Viết công thức tính diện tích S $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng vật dụng thị nhị hàm số $y = f_1(x)$, $y = f_2(x)$ tiếp tục bên trên đoạn $$ và những con đường thẳng $x = a$, $x=b.$A. $S = int_a^b left .$B. $S = int_a^b left .$C. $S = left| int_a^b left( f_1(x) – f_2(x) ight)dx ight|.$D. $S = int_a^b left< f_2(x) – f_1(x) ight>dx .$

Câu 2: Cho diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vị thứ thị hàm số $y = x^3$, $y = x^5$ bởi $fracab$ cùng với $a$, $b$ là những số nguyên dương cùng $fracab$ là phân số tối giản. Tính $T = a + b.$A. $T = 5.$B. $T = 6.$C. $T = 7.$D. $T = 8.$

Câu 3: Cho diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì những đường $y = x^2 + 5$, $y = 6x$, $x = 0$, $x = 1$ bởi $fracab$ cùng với $a$, $b$ là những số nguim dương với $fracab$ là phân số buổi tối giản. Tính $T = log _2(a + b – 2).$A. $T = 2.$B. $T=3.$C. $T=4.$D. $T=8.$

Câu 4: call $S_1$ là diện tích của hình phẳng giới hạn vì elip $fracx^225 + fracy^29 = 1$ với $S_2$ là diện tích của hình thoi gồm các đỉnh là các đỉnh của elip kia. Tính tỉ số thân $S_1$ và $S_2.$A. $fracS_1S_2 = frac2pi .$B. $fracS_1S_2 = frac3pi .$C. $fracS_1S_2 = fracpi 3.$D. $fracS_1S_2 = fracpi 2.$

Câu 5: Cho diện tích S hình phẳng được giới hạn vì chưng những con đường $y = x^3$, $y = 2 – x^2$, $x = 0$ bởi $fracab$ với $a$, $b$ là những số ngulặng dương và $fracab$ là phân số buổi tối giản. Khẳng định như thế nào sau đó là đúng?A. $a > 2b.$B. $a > b.$C. $a = b + 2.$D. $b = a + 2.$

Câu 6: Cho diện tích của hình phẳng giới hạn bởi vì những con đường $y = fracln x2sqrt x $, $y = 0$, $x = 1$, $x = e$ bởi $a + bsqrt e $ cùng với $a$, $b$ là những số ngulặng. Giá trị $a+b$ nằm trong khoảng tầm làm sao sau đây?A. $(0;2).$B. $(2;4).$C. $(4;6).$D. $(6;8).$

Câu 7: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vị những mặt đường trực tiếp $y = 2 – x$, $y = 0$, $x = m$, $x = 3$ $(m A. $(-4;-2).$B. $(-2;0).$C. $(0;2).$D. $(-6;-4).$

Câu 8: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn vì các con đường $y = (e + 1)x$ với $y = left( e^x + 1 ight)x$ bởi $fracea + b$ với $a$, $b$ là các số nguim. Tính $T = a + 2b.$A. $3.$B. $2.$C. $1.$D. $0.$

Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn vày những con đường parabol: $(P):y = x^2 – 2x + 2$, tiếp đường của $(P)$ tại $M(3;5)$ và trục $Oy$ có giá trị thuộc khoảng tầm nào sau đây?A. $(2;4).$B. $(4;6).$C. $(6;8).$D. $(8;10).$

Câu 10: Parabol $y = fracx^22$ chia hình tròn trụ tất cả trung tâm tại cội tọa độ, bán kính $2sqrt 2 $ thành $2$ phần. Gọi $S_1$, $S_2$ theo thứ tự là diện tích S phần gạch ốp chéo cùng phần không gạch ốp chéo cánh nhỏng mẫu vẽ.

*

Tính tỉ số $fracS_1S_2$ lấy quý giá gần đúng mặt hàng phần trăm.A. $0,43.$B. $0,53.$C. $0,63.$D. $0,73.$